Für jede Wellenlänge gibt es dabei eine bestimmte Eintrittsstelle in den Tropfen, so daß der Lichtstrahl eine minimale Ablenkung erfährt. Welche Bedeutung kommt dem Strahl minimaler Ablenkung in der jeweiligen Wellenlänge zu? Ob und wo ein Regenbogen sichtbar ist, hängt davon ab, wie viele Lichtstrahlen in einen bestimmten Winkelbereich abgelenkt werden. Für den Bereich um den Strahl minimaler Ablenkung ist diese Zahl maximal, weil nur dieses Strahlbündel nach Durchlaufen des Tröpfchens so wenig divergent ist, daß seine Intensität noch von unserem Auge wahrgenommen werden kann. D.h. nur bei minimaler Ablenkung laufen ein Strahl und seine Nachbarstrahlen nach Durchsetzen des Wassertröpfchens nicht auseinander, sondern bleiben annähernd Parallelstrahlen. Aus dieser Minimumsbedingung ergibt sich für die Lage des Hauptregenbogens: rot beim Winkel 42°16', dann orange, gelb, grün, blau, indigo und schließlich violett bei 40°44'. Alle Tropfen, die z.B. minimalabgelenkte rote Strahlen zum Beobachter senden, liegen auf einem Kegelmantel mit einem Öffnungswinkel von etwas mehr als 42°, so daß der Beobachter einen leuchtend roten Ring wahrnimmt.
Man beachte, daß die Sonne im Rücken des Beobachters steht. Die
jeweils äußersten Randstrahlen liegen auf dem Mantel eines Kegels,
der sich für den Beobachter mit 42°16' (für rote)
bzw. 40°44' (für violette Strahlen) um die Achse
Sonne-Beobachter öffnet. Man spricht deshalb vom
Beobachtungswinkel.
Die Breite des Hauptregenbogens, also die Winkeldifferenz von
1,5°, entspricht mehr als dem dreifachen Durchmesser des
Vollmonds. Da sehr viele Tropfen vorhanden sind, gibt es in jede
Richtung gerade passende Tropfen, deren Kegelmantel verstärkter
Lichtintensität genau auf das Auge des Beobachters weist. Der sieht
folglich einen Kreisausschnitt mit dem errechneten Öffnungswinkel.
Deswegen sieht man erstens an jedem Standort seinen individuellen
Regenbogen. Zweitens folgt damit aus dem Sonnenstand die Höhe des
Bogens: je tiefer die Sonne, desto höher der Regenbogen, wobei man
von der Erde aus höchstens einen Halbkreis sieht, wenn nämlich die
Sonne knapp über dem Horizont steht.
Durch analoge Berechnungen
erhält man für die Lage des Nebenregenbogens einen Kegel mit einem
Öffnungswinkel von etwa 51°. Daraus folgt eine Breite von
ca. 3° und die umgekehrte Farbfolge wie beim
Hauptregenbogen. Der maximale Ablenkwinkel für zweifache Reflexion
beträgt etwa 129 °, den minimalen bei einfacher Reflexion haben
wir mit 138° bestimmt. So ergibt sich zwischen dem Haupt- und
dem Nebenregenbogen ein verbotener Winkelbereich, in den nur sehr
wenig Licht dringen kann. Dieser Bereich heißt Alexanders dunkles
Band, benannt nach Alexander von Aphrodisias (ca. 200 n.Chr.), einem
Philosophen und Kommentator der Werke von Aristoteles.
Unter gut ausgebildeten Hauptregenbögen kann man oft noch mehrere
schwächere, farbige Bögen erkennen: Sekundär- oder
Interferenzregenbögen. Ihre Farbfolge ist unterschiedlich. Sie sind
unter den vereinfachenden Annahmen der geometrischen Optik nicht mehr
zu erklären, man muß dazu schon auf die Wellenoptik zurückgreifen.
2. Die Wellenoptik berücksichtigt nun auch Beugungs- und Interferenzerscheinungen. Die ist notwendig, da die Größe der Wassertröpfchen nicht immer wesentlich die Lichtwellenlänge übersteigt. Damit lassen sich auch die relativen Intensitäten der einzelnen Farbbögen erklären, ferner die Polarisation des Lichts in Regenbögen.
Bei Interferenz führt die Überlagerung von Lichtwellen zur Verstärkung oder Auslöschung der Lichtintensität. Gerade im Bereich der beobachtbaren Lichtwellen überlagern sich solche, die verschiedene optische Lichtwege zurückgelegt haben. Diese Phasendifferenz führt zu Interferenzstrukturen im Regenbogen, auch überzählige Bögen genannt.
Fällt Licht unter dem Brewsterwinkel auf eine Grenzfläche, so ist das
reflektierte Licht senkrecht zur Einfallsebene reflektiert. Beim
Regenbogen wird das beobachtbare Licht nahezu unter dem Brewsterwinkel
im Wassertropfen reflektiert. Deshalb ist das Regenbogenlicht stark
senkrecht polarisiert.